这个猜想的证明极其困难，它将量子力学与无限复杂的数学结构联系起来，一位数学家曾为能解决它的人请客提供10杯马提尼酒。

　　1974年，在侯世达（道格拉斯·霍夫施塔特，Douglas Hofstadter）创作普利策奖获奖神作《GEB》（中文版译名《哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异璧之大成》，英文版名为《Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid》，直译为：哥德尔、艾舍尔、巴赫——一条永恒的金缕）的五年前，他还是俄勒冈大学的物理学研究生。

　　他的博士生导师去德国雷根斯堡休假时，侯世达也跟着去了，希望能练习一下德语。两人加入了一群才华横溢的理论物理学家，他们当时正苦苦思索量子理论中的一个特定问题。他们想确定靠近磁铁的晶格中电子的能级。

　　侯世达是个异类，跟不上其他人的思路。现在回想起来，他很庆幸。“我的运气一部分在于我跟不上他们，”他说，“他们虽然在证明定理，但跟情况的本质毫无关系。”

　　侯世达决定尝试一种更务实的方法。他不打算证明定理，而是打算用一台惠普9820A台式计算器 来计算一些数字——这台类似计算机的机器重近40磅，可以通过编程进行复杂的计算。

　　侯世达需要它来求解薛定谔方程（Schrödinger equation）的一个特定公式，该方程是量子力学的核心。当输入关于电子及其环境的某些信息时，薛定谔方程会描述电子的行为。具体来说，它的解可以告诉你电子所能拥有的能量。

　　在侯世达感兴趣的案例中，薛定谔方程包含一个名为α的变量，它是磁场强度与一个网格面积的乘积。α刻画了作用于电子的力的信息。

　　侯世达（Douglas Hofstadter）是普利策奖获奖书籍《哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异璧之大成》的作者，该书探讨了数学、音乐等领域中的自指性质。

　　德国数学家团队知道，当α为有理数（即整数或分数）时，解薛定谔方程虽然困难，但并非不可能（只要你有一个足够大的计算器）。但当α为无理数时，也就是说它不能写成分数，他们就不知道该如何解了。

　　侯世达没有像他的同事那样苦苦思索无理数的情况，而是从他所知道的入手。他编写了计算器程序，将一个是有理数的α值作为输入，并将输出打印在一卷纸上。结果代表了电子的允许能级和禁止能级。

　　每天晚上，侯世达都会让他的计算器嗡嗡作响。第二天早上，他回到机器旁，看到一卷纸从机器里展开，上面列出了他设定的每个有理α值对应的能量位置。他把几张坐标纸粘在一起，用毡尖笔一丝不苟地画出这些能量值。这幅图后来被称为“侯世达蝴蝶”，因为图表的负空间与这种昆虫翅膀的图案非常相似。

　　当晶体靠近磁铁时，其电子只能拥有一定的能量。这些能量值取决于晶体的磁通量，磁通量衡量电子受到的力的大小。1974年，侯世达绘制了这一现象的图表（上图）。纵轴代表磁通量；横轴代表电子可能的能量值。侯世达注意到，这些能量形成了分形图案。这张完整的图表（下图）后来被命名为“侯世达蝴蝶”。

　　侯世达的同事们无法理解他这种费力的做法。他们开玩笑说，他这是在把稻草纺成金子，还把他的计算器叫做“侏儒计算器”（Rumpelstilzchen，是格林兄弟收录的德国民间童话角色，该妖怪以能够将稻草纺成黄金的超自然能力著称。 故事中通过三次魔法交易帮助磨坊主女儿摆脱困境，最终因真实姓名被识破而暴怒自戕的情节构成叙事核心——zzllrr小乐译注）。

　　就连他的导师也认为他的研究只是“数字命理学”，并威胁要停止资助他。“他说我讲迷信，胡言乱语，”侯世达说，“在数字中寻找意义和模式，即使它们并不存在。”

　　但坐标纸上浮现的蝴蝶却激起了他的兴趣。侯世达注意到，当他输入一个分数时，允许的能量会被一长串的禁止值打断。随着分数越来越复杂，分母的位数越来越多，可能的能量之间的断点也越来越多。能量值开始形成一种视觉上引人注目的图案——分形，这意味着分形中较小的部分看起来与整体相同。

　　他的直觉告诉他，这反映了一个深刻的数学真理。“我很清楚，我抓住了老虎的尾巴，”他说。他认出了那只老虎。它就是康托集。

　　该集合以数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）的名字命名，他于1883年通过一条简单的规则推广了该集合：取一条线段，将其分成三等份，然后擦去中间的三分之一。这样就剩下两条线段，中间有一条空隙。现在，擦去每条线段中间的三分之一，以此类推。如果无限次地重复这个过程，就会得到一个无限的点集，像尘埃一样沿着数轴散布开来。

　　侯世达绝不会代入α的无理数值。无理数无法用分数来表示——这需要分子或分母有无穷多位数字，而这在计算器中是无法处理的。但他注意到，随着α的有理数值越来越接近无理数，其允许的能量值集合——也就是他蝴蝶图每一行的墨迹——看起来越来越像康托集。因此，他假设，当α为无理数时，可能的能量将形成一个真正的康托集。

　　几年后，两位杰出的数学家从截然不同的角度得出了相同的结论。巴里·西蒙（Barry Simon）和马克·卡克（Mark Kac）一直在研究他们所谓的“概周期函数”（almost-periodic，也称殆周期）。周期函数的输出，例如正弦波，会一遍又一遍地重复。而概周期函数则会描绘出一条非常接近重复的路径，但永远不会重复。

　　1981年，卡克和西蒙共进午餐，讨论了侯世达及其同事试图求解的薛定谔方程版本。当α为无理数时，该方程变成了一个概周期函数。这正是他们一直在研究的现象。基于他们对概周期函数的了解，侯世达是对的：当α为无理数时，允许的能级应该形成一个康托集。

　　但西蒙和卡克也无法证明这一点。卡克说，谁能证明，他就请客给谁买10杯马提尼酒。西蒙开始宣传卡克的提议，这个问题后来被称为“十杯马提尼猜想”。

　　数学家马克·卡克曾为任何能解决量子理论中一个重要问题的人提供10杯马提尼酒。2004年，卡克在证明完成前去世。上图为一群致力于该问题的数学家在当年举行的一次会议上庆祝这一证明的完成。

　　多年来，数学家们不断努力，证明了某些（但并非全部）无理数α值的猜想。西蒙在1982年宣布了其中一个中间结果。卡克请他喝了三杯马提尼。1984年卡克去世时，这个问题依然悬而未决。一个值得获得全部10杯马提尼酒的证明，直到20年后才出现。

　　2003年， 斯维特兰娜·吉托米尔斯卡娅 （Svetlana Jitomirskaya）花了数年时间研究薛定谔方程中蕴含的概周期函数 ，最终放弃了她毕生追求的证明“十杯马提尼猜想”的目标。一年前，一位名叫若阿金·普伊格（Joaquim Puig）的竞争对手已经证明了除少数几类无理α值外，所有类型的猜想都成立。而且，他使用了她之前发表的技术。“我当时真是后悔不已，”她说道，“我的证明中已有最难的部分，然后却是他提出了这个漂亮的证明。”

　　因此，当一位名叫阿图尔·阿维拉（Artur Avila）的24岁数学家来找她，并建议他们研究α的其余数值时，她感到很惊讶。“我告诉他这会非常困难，非常耗时，而且没人会在意，”她说。

　　但他们确实做到了。他们于2005年在网上发布的证明最终发表在了数学领域最负盛名的期刊《数学年鉴》上。 阿维拉后来凭借他对这个问题的研究获得了菲尔兹奖 。

　　他们决定亲自履行10杯马提尼的合同。“我们喝了很多庆祝酒，包括马提尼，”吉托米尔斯卡娅说。

　　斯维特拉娜·吉托米尔斯卡娅 (Svetlana Jitomirskaya) 花了数十年时间研究电子量子行为中出现的微妙模式。

　　但从某些方面来看，这个证明有点不尽如人意。吉托米尔斯卡娅和阿维拉使用的方法只适用于某些α无理数值的情况。通过将其与之前的中间证明相结合，他们可以说问题已经解决了。但这个组合证明并不优雅。它就像一块拼布，每个方格都由不同的证明拼接而成。

　　此外，这些证明仅仅解决了最初提出的猜想，即对电子环境做出简化的假设。更现实的情况更加复杂：固体中的原子排列方式更复杂，磁场也并非完全恒定。“你已经验证了这个模型，但这与现实有什么关系？”瑞士苏黎世联邦理工学院的数学家西蒙·贝克尔问道。

　　这些更现实的情况需要你调整薛定谔方程中出现α的部分。而当你这样做的时候，十杯马提尼酒的证明就失效了。“这一直让我很困扰，”吉托米尔斯卡娅说。

　　在这些更广泛的背景下证明的崩溃也意味着，已经出现的美丽分形图案——康托集、侯世达蝴蝶——只不过是一种数学上的好奇心，一旦方程变得更加现实，它就会消失。

　　阿维拉和吉托米尔斯卡娅转向了其他问题。就连侯世达也心存疑虑。如果实验真的发现了他的蝴蝶，他曾在《哥德尔、埃舍尔、巴赫》 一书中写道：“我会是世界上最惊讶的人。”

　　但在2013年，哥伦比亚大学的一组物理学家在实验室里捕捉到了他所构想的蝴蝶。他们将两层薄薄的石墨烯置于磁场中，然后测量了石墨烯电子的能级。量子分形的光芒由此显现。“突然间，它从数学家的幻想变成了实际的东西，”吉托米尔斯卡娅说。“这变得非常令人不安。”

　　2019年，葛灵睿加入了吉托米尔斯卡娅的团队。他受到了吉托米尔斯卡娅和阿维拉在十杯马提尼酒问题上所做的研究的启发，同时也受到了阿维拉一直以来努力追求的研究方向的启发。

　　阿维拉厌倦了数学家们用来理解概周期函数的零碎方法。他转而开始发展所谓的“整体理论”（global theory）——一种揭示各种概周期函数中更高层次结构的方法，然后他可以用这种方法一次性解决所有类型的函数。

　　葛灵睿帮助开发了一种新方法来理解概周期函数的解，即量子物理学中出现的重要方程。

　　为此，他将一个几何对象与给定的概周期函数联系起来，并研究了它的性质。他意识到其中一些几何性质可以帮助他求解原始函数。

　　但它只适用于某些类型的函数。它无法处理十杯马提尼酒问题所需的计算类型。目前还不清楚它是否真的能做到。

　　这是因为，为了证明“十杯马提尼猜想”，数学家必须先将薛定谔方程转化为一个相关的方程，即它的对偶方程，然后再求解这个新方程。阿维拉的理论无法揭示对偶方程的更高层次结构。

　　至少他是这么想的。但葛教授对阿维拉描述的几何对象很感兴趣。他猜测这些对象的其他性质隐藏着更多信息——这些信息或许可以阐明对偶方程的某些方面。“我可以看出这是一个非常漂亮且重要的理论，”葛教授说。

　　他和吉托米尔斯卡娅，以及中国南开大学的尤建功和周麒，找到了一种新的方法来解释阿维拉的几何对象，并将其应用于对偶。这使得该理论更加强大。这也使得葛灵睿、吉托米尔斯卡娅和尤建功可以写出一个证明，在多种不同情况下解决十杯马提尼问题的不同版本。无需拼凑。

　　这一结果巩固了“侯世达蝴蝶”作为一种真实存在现象的地位。抽象的数论世界在物理学领域中占据着举足轻重的地位。

　　此后，数学家们利用他们版本的阿维拉整体理论解决了该领域的另外两个关键问题。他们预测，这只是他们利用所发现方法的开端。“我们发现了整体理论背后隐藏的秘密，”葛灵睿教授说。“它就像黑暗大海上的一盏明灯，指引着我们正确的方向。”

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