几十年来，数学家们一直在努力理解那些既能反映有序性又能反映随机性的矩阵，比如那些对半导体建模的矩阵。一种新的方法或许能改变这一现状。

　　初始谜团是这样的：1950年代，贝尔实验室的物理学家乔治·费赫尔（George Feher）将少量其他元素（例如磷或砷）注入硅中。当他注入少量元素时，电子可以在生成的材料中自由移动。但随着他注入更多元素，材料的内部结构变得更加随机，阻碍了电子的运动。这种阻碍并非像人们预期的那样逐渐发生，而是在浓度超过特定点时突然发生，将电子困在里面。然后，电子的运动就完全停止了。

　　“它之前导电，导电，导电，然后就不再导电了，”伦敦国王学院的物理学家 扬·费奥多罗夫（Yan Fyodorov）说。耐人寻味的是，这种行为的急剧变化让人联想到相变，比如零摄氏度时水突然结冰。“物理学家喜欢相变，”费奥多罗夫说。

　　很快，贝尔实验室的另一位物理学家菲利普·W·安德森（Philip W. Anderson）建立了一个模型来描述这种令人费解的行为。他希望严格证明他的模型与费赫尔的实验结果一致。也就是说，他想证明，一旦一种材料的结构足够随机，它的电子就会从自由移动（即“离域”delocalized）的状态转变为完全停滞（即“定域”localized）。

　　安德森后来获得了诺贝尔奖，部分原因就是这项工作，正如他在诺贝尔演讲中所述 ，他为寻找这一证明所做的努力使他“成了所有人的麻烦”。

　　几十年来，其他研究人员也一直未能解决这个问题，但在过去的一年里，研究人员发表了一系列成果 ，标志着自1980年代以来该问题取得的最重大进展 。

　　菲利普·W·安德森建立了一个描述半导体材料中电子行为的模型。从那时起，数学家们就一直希望证明它能够准确地反映实验中观察到的某些特性。

　　他们的技术不仅有望用于分析像安德森这样的电子行为模型，这项工作还触及了长期以来对非完全随机或非完全有序系统的探索。

　　“我真的很兴奋，”哈佛大学的姚鸿泽说道，他职业生涯的大部分时间都在研究这个问题。谈到这些具有挑战性的模型，“我觉得这是我们第一次拥有一种能够产生巨大影响的方法。”

　　安德森将材料视为一个由电子可以随机跳跃的点组成的网格。如果电子跳跃频繁，材料就会导电。如果电子无法跳跃，材料就会绝缘。

　　为了理解电子的整体行为，你可以使用一个称为矩阵的数字数组来计算值列表。这些值列表被称为特征函数（eigenfunction）。

　　在相对纯净的物质中，几乎所有特征函数的平均值都非常小。这说明电子跳跃到网格上不同位置的概率相对均等。它被离域化了（delocalized）。

　　安德森表示，对于描述具有足够随机性的材料的矩阵，每个特征函数应该会发现它的一些值突然变得非常大，而其他值则降至零。这意味着电子现在被困在网格的特定区域中。它被定域化了（localized）。

　　问题在于，对于安德森使用的矩阵类型，计算特征函数非常困难。它们显然超出了标准方法的范畴。

　　“带”（band）指的是矩阵对角线上散布的数字——这是安德森矩阵的标志。如果矩阵中仅有的非零数字位于从左上角到右下角的线。对角线上的其他非零数字会使带宽增大。安德森模型中的矩阵总是具有非常薄的带。这种薄矩阵的特征函数很难计算。

　　带宽就像电子移动距离的反映：带宽越大，电子就能传送到网格上更远的点。（这虽然不是一个非常现实的模型，但仍然很有用。）

　　在安德森矩阵中，有些元素是随机的，有些则不是。但在1990年，物理学家注意到，所有元素均为随机的带状矩阵也表现出定域化转变：宽带表示离域电子，窄带表示定域电子。与安德森模型不同，这种转变是缓慢的，而不是突然的。但研究人员仍然可以检测到一个阈值——一个将离域态与定域态区分开来的带宽。因此，与安德森模型一样，数学家们想要精确地确定这个阈值。也就是说，他们想要找到一个尽可能窄的带状矩阵，使特征函数的值保持较小。

　　这仍然很难做到，因为带越薄，分析矩阵的特征函数就越困难。但这可能比计算安德森薄带矩阵的特征函数要容易。如果数学家们能够证明这个新的阈值，或许能帮助他们理解那些更难的矩阵。

　　发现带状矩阵转变的物理学家们从一个更简单的模型入手。他们设想了一种类似无限细的金属丝的材料——这个问题的一维版本。然后，他们利用数值实验精确地确定了定域化和离域化之间的阈值。

　　但这些实验与数学证明不同。“它们基于完全不受控制的近似，虽然看似合理，但通常很难做到严格，”日内瓦大学的安蒂·诺尔斯（Antti Knowles）说道。因此，数学家们一直将带状矩阵列在他们的待办事项清单上，希望将这些理论转化为定理。姚鸿泽和他当时的博士后尹俊（Jun Yin）就是其中之一。

　　尹俊教授于2008年在普林斯顿大学物理系获得博士学位后加入姚鸿泽团队。两人最初从一维情况入手。到2013年，他们与诺尔斯和拉兹洛·埃尔德什（László Erdős）合作，证明了 一旦带非常宽，大多数特征函数就会发生离域化。但这个宽度仍然远远高于物理学家预测的阈值。

　　多年来，他们探索了各种各样的方法，试图证明特征函数在较小的带宽下仍然保持较小。他们甚至尝试了七维版本的问题 ，虽然这个设置与物理学关系不大，但他们希望从中得到一些数学上的启发。

　　尹俊，前物理学家，最初希望专注于气体的量子行为研究。但他很快被一个涉及随机矩阵和半导体模型的新问题所吸引。

　　他们似乎什么方法都试过了。然后，在2024年春天，他们意识到之前被否定的一种方法或许真的有用。

　　姚鸿泽和尹俊最初否定的方法是随机矩阵理论中一种古老而老套的方法：仔细调整一个难以求解的矩阵，得到一个更容易处理的新矩阵。这将一个难题——研究带状矩阵的特征函数——变成了两个更容易处理的问题。首先，数学家需要证明他们调整矩阵的方法不会对其特征函数产生太大的影响。然后，他们必须证明新矩阵的特征函数很小——电子是离域的。

　　然而，当姚鸿泽和尹俊将这项技术应用于带状矩阵时，他们仍然难以理解新矩阵的特征函数。他们已经把分析推到最后一步：他们必须证明某个特定方程的解很小。

　　但在尝试解这个方程时，两人最终陷入了噩梦般的循环。他们非但没有得到一个简洁的答案，反而得到了一个新的、甚至更混乱的方程式。而当他们试图解这个方程时，得到的只是更难解的东西。

　　“计算越来越复杂了，你说，真的吗？这就是你的方案？你从哪儿能解决？”尹俊说。

　　他花了几个月的时间琢磨这些方程式，画了200多页图，试图理解它们。“想法是一点一点产生的，”他说，“要花很长时间才能弄清楚。”

　　经过数月的艰苦探索，他和姚鸿泽找到了简化方程的方法。这使得他们得以完成证明：他们证明， 一旦带宽略大于预测的阈值，特征函数的值就必须很小。电子必然处于离域状态。

　　姚鸿泽和尹俊的证明处理的是一维模型。有了新的成果，他们立即着手解决高维带状矩阵的阈值问题。他们聘请了姚鸿泽的研究生索菲娅·杜波娃（Sofiia Dubova）和他的博士后凯文·杨（Kevin Yang）来协助。几个月后，团队就能够将姚鸿泽和尹俊的技术应用于电子在二维网格中跳跃的情况。上个月，姚鸿泽、尹俊、杜波娃和杨帆在三维情形下取得了重大进展，而三维情形最能模拟我们的物理三维现实。

　　数学家们长期以来一直在努力理解那些带有少量随机性的矩阵。最近这一系列的研究为如何理解这些矩阵提供了新的见解。研究人员现在希望将姚鸿泽、尹俊和他们的同事开发的方法应用到各种其他场景中。“基本上，人们可以定义并尝试应用这些技术的不同变体有无数种，”诺尔斯说。

　　索菲亚·杜波娃（上）和凯文·杨（下）利用概率论来了解电子如何在材料中卡住或脱离。

　　尽管如此，对于该领域的数学家来说，利用带状矩阵理解安德森模型的前景远胜于任何其他目标。“每个人都知道这些问题，而且它们无法通过传统技术来解决，”哥伦比亚大学的阿莫尔·阿加瓦尔（Amol Aggarwal）说道。“现在它们能够被理解，这让人们对带状矩阵产生了极大的兴趣。”

　　为此，尹俊和杨帆将他们的方法应用于另一类与安德森模型更为相似的矩阵 。今年6月，拉兹洛·埃尔德什和沃洛迪米尔·里亚博夫发表了一篇论文，将姚鸿泽和尹俊的一维结果应用于更广泛的带状矩阵。他们的证明或许对更现实的电子行为模型有所裨益。

　　半个世纪以来，数学家们第一次对解决安德森最初问题的前景感到充满希望。回想起来，尹俊记得2008年他问过拉兹洛·埃尔德什，他们的团队能否在冬天结束前完成关于带状矩阵的论文。“他开玩笑说，哪个冬天？”尹俊说。“我没想到竟然花了16个冬天才最终完成。”

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